在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》里，小编带着咱们从零开端一步一步认识了麦克斯韦方程组的积分办法，这篇文章咱们就来看看它的微分办法。
在积分篇里，咱们一向在跟电场、磁场的通量打交道。咱们恣意画一个曲面，这个曲面可所以闭合的，也能够不是，然后咱们让电场线、磁感线穿过这些曲面，它们就两两结合形成了四个积分办法的方程组。从这儿咱们能感觉到：麦克斯韦方程组的积分办法是从微观视点来描绘问题，这些曲面都是微观可见的东西。那么微分办法呢？微分办法如同应该从微观视点去看问题，那么咱们要怎样把曲面、通量这些微观上的东西弄到微观里来呢？
一个很简略的主意便是：我让微观上的东西缩小缩小，直到缩小成一个点，这样不就进入微观了么？积分办法的麦克斯韦方程组需求选定一个曲面，可是它并没有限制这个曲面的巨细，我能够把这个曲面选得很大，也能够选得很小。当你把这个曲面选得很小很小的时分，麦克斯韦方程组的积分办法就天然变成了微分办法。所以，微分办法的基本思维仍是很简略的，它实在费事的当地是在于怎样寻觅一种便利的核算办法，这些我后边会细说。
由于微分办法和积分办法的这种接受联络，我主张咱们尽量先看看积分篇的内容。在积分篇里，我是从零开端讲电磁学，讲麦克斯韦方程组，所以阅览起来不会有什么门槛。可是到了微分篇，上篇文章现已详细说了一些东西（比方电场、通量、环流等概念）这儿就不会再细说了。
好，下面进入正题。在积分篇里我跟咱们讲过，麦克斯韦方程组总共有四个方程，别离描绘了静电（高斯电场规律）、静磁（高斯磁场规律）、磁生电（法拉第规律）、电生磁（安培-麦克斯韦规律）。这四个方程各有积分和微分两种办法，积分办法咱们上篇现已说过了，微分办法咱们仍是依照次序，也从静电开端。
01微分办法的静电
在积分篇里，咱们是这样描绘静电的：我在空间里恣意画一个闭合曲面，那么经过闭合曲面的电场线的数量（电通量）就跟这个曲面包括的电荷量成正比。用公式表述便是这样：
这便是积分办法的高斯电场规律：左面表明经过闭合曲面S的电通量（E是电场强度，咱们把面积为S的闭合曲面分割成许多小块，每一个小块用da表明，那么经过每一个小块面积的电通量就能够写成E·da。套上一个积分符号就表明把一切小块的电通量累加起来，这样就得到了经过整个闭合曲面S的电通量），右边那个带了enc下标的Q就表明闭合曲面包括的电荷量，ε0是个常数。这些内容我在积分篇里都详细说过了，这儿不再多言。
下面是要点：由于这个闭合曲面S是能够任何选取的，它能够大能够小，可所以球面也可所以各种杂乱无章的闭合曲面。那么咱们就无妨来学习一下孙悟空，变小变小再变小，我让这个闭合曲面也一向缩小缩小，缩小到无量小，那么这时分高斯电场规律会变成什么样呢？
这儿会触及一丢丢极限的概念，咱们这样考虑：一个闭合曲面缩小到无量小，其实便是它的外表积或许体积无限趋向于0。也便是说，我假定有一个球的体积为ΔV，然后让这个ΔV无限趋近于0，那这样就能够表明这个球缩小到无量小了。用数学符号能够记成这样：
Lim便是英文单词极限（limit）的缩写，ΔV经过一个箭头指向0能够很形象的表明它无限趋近于0。有了这个极限的概念，咱们就能够很天然的表明经过这个无量小曲面的电通量了（直接在电通量的前面加个极限符号），这时分高斯电场规律就成了这样：
这样，咱们就把高斯电场规律从微观拉到了微观：方程的左面表明曲面缩小到无量小时的电通量，方程的右边表明无量小曲面包括的电荷量。可是，当曲面缩小到无量小的时分，咱们再运用电荷量Q就不适宜了，所以咱们改用电荷密度（符号为ρ）。电荷密度，从姓名里咱们就能猜出它表明的是单位体积内包括电荷量的巨细，所以它的表达式应该是用电荷量除以体积，即：ρ=Q/V。
所以，假如咱们把微观的高斯电场规律左右两头都一同除以体积ΔV，那么右边的电荷量Q除以体积Δ就变成了电荷密度ρ，左面咱们也再除以一个ΔV，那么公式就变成了下面这样：
公式的右边除以一个体积ΔV，就成了电荷密度ρ除以真空介电常数ε0，那左面呢？左面本来是经过无量小曲面的电通量，这玩意除以一个体积ΔV之后表明什么呢？这一长串的东西，咱们给它取了个新姓名：散度。
也便是说，电场E在一个点（被无量小曲面围着的这个点）上的散度被界说为电场经过这个无量小曲面的电通量除以体积。散度的英文单词是divergence，所以咱们一般就用div(E)表明电场E的散度，即：
所以，高斯电场规律的微分办法就能够表明成这样：
它告知咱们：电场在某点的散度跟该点的电荷密度成正比。
然后呢？然后微分篇的第一个方程就这样说完了？这只不过把高斯电场规律积分办法的曲面缩小到了无量小，然后两头一同除了一个体积，右边凑出了一个电荷密度，左面巴拉巴拉凑出一大堆东西你告知我这个新东西叫散度就完事了？不带这么玩的！那这个散度究竟有什么物理含义？我要怎样去核算详细的散度（你用无量小通量去界说散度却是好界说，可是这样核算可就费事了）？还有，许多人多多少少知道一些麦克斯韦方程组的姿态，尽管不是很懂，那个倒三角符号倒仍是记住的，你这公式里为什么没有符号呢？
02初入江湖的
没错，咱们用无量小曲面的通量和体积的比值来界说散度，这样界说是为了杰出它跟通量之间的联络，也便利咱们从积分的思维天然的转化到微分的思维中来。可是，这种界说在详细核算的时分是没什么用的，咱们不会经过去核算无量小曲面的通量和体积的比值来核算一个点的散度，由于这样实在是太费事了。咱们有种更简略的办法来核算电场在某个点的散度，而这种办法，就会运用到咱们了解的倒三角符号。
在这种新的表明办法里，电场E的散度能够被写成这样：·E，所以咱们就能够用这个东西替换掉方程左面div(E)，那么麦克斯韦方程组的第一个方程——描绘静电的高斯电场规律的微分办法就能够写成这样：
这样写的话，是不是就感觉了解多了？也便是说，相同是为了表明散度，咱们用·E替代了替代了本来无量小曲面通量和体积比值那么一大串的东西。并且这样还十分好核算，运用这种新的办法，你只需给出一个电场，我分分钟就能够把电场的散度写出来。这种倒三角符号，必定是符号简化史上的奇观。
所以，我接下来的作业，或许说了解麦克斯韦方程组的微分办法的中心内容，便是要来告知咱们这个倒三角符号究竟是什么意思，·（后边加了一个点）又是什么意思？为什么·E能够表明电场E的散度就？为什么·E跟咱们前面散度的界说div（E）是等价的？也便是说：
为什么上面的式子是持平的，并且都能够用来表明电场E的散度？
这便是我在开篇说的：微分办法的基本思维仍是很简略的，它实在费事的当地在于怎样寻觅一种便利核算的办法，这种便利的核算办法天然便是。那么咱们接下来就先把电磁相关的物理内容放置一旁，先一同来看一看这个传奇符号的宿世此生，了解了它，你就了解了麦克斯韦方程组的微分办法的精华。
03从导数说起
要了解，咱们仍是得先再来看一看这个衡量事物改动快慢的概念：导数。说“再”是由于咱们在积分篇里现已讲过了：法拉第发现了电磁感应，发现改动的磁场能发生电场，并且磁场改动得越快，发生的电场越大。这儿咱们就需求这样一个量来描绘磁场改动的快慢，只不过其时咱们没有打开说。
我仍是借用上篇身高的比方来看看咱们是怎样描绘改动的快慢的。一个人在十二三岁的时分一年能够长10厘米，咱们说他这时分长得快；到了十七八岁的时分或许一年就只能长1厘米，咱们就说他长得慢。也便是说，咱们衡量一个量（这儿便是身高，假定身高用y表明）改动快慢的办法是：给定一个改动的时刻dt（比方一年，或许更小），看看这个量的改动Δy是多少，假如这个量的改动很大咱们就说它改动得很快，反之则改动得慢。
在这儿，我略微解释一下Δy和dy的差异：如下图所示，咱们假定函数在x轴上有一个增量Δx，这个用Δx或许dx表明都相同，两者持平。可是，这个在x轴上的改动带来的y轴上的改动就不相同了：Δy表明的是y轴实践的改动量，是我用前后两个不同的x对应的y值直接相减得到的实在成果；而dy则不是，dy是咱们在M点做了一条切线，然后我用这条直线来替代曲线，当x轴上改动了Δx的时分这条直线上对应y上的改动。
从这个图里咱们能够看到：Δy的值是要比dy大一点点的，可是跟着Δx或许dx的减小，它们的之间的差值会急速减小，比Δx减小的快得多，这个差值也是咱们常说的高阶无量小。Δy叫做函数从一点到另一点的增量，而dy则被叫做函数的微分，或许叫它的线性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是现代微积分的一个中心思维，从这个图里可见一斑。
在微积分刚创建的时分，莱布尼茨把dx看作一个挨近0但又不等于0的无量小量，这种“朴素”的思维很契合直觉，并且用这种思维来核算也没什么错，可是它的根底是十分不结实的。正是这种鬼魂般的无量小量dx（时而能够看作是0，时而能够当除数约分）导致了第2次数学危机，数学家们经过一个多世纪的抢救才给微积分找到了一个坚实的地基：极限理论。
这段内容不是太了解没联络，只需知道咱们能够用dy/dx表明函数在M点的导数（在这儿便是切线的斜率），能够用它来表明图画在这儿改动的快慢就行了。
再回到人的身高随年纪改动的这个比方里来。人在各个年纪t都会对应一个身高y，这每个（t,y）就对应了图上的一个点，把这些点全都连起来大致就能得到这样一个图：
在导数dy/dt大的当地，图形里的斜率很大，浅显的说便是曲线很峻峭；而导数很小的当地，对应的曲线就很陡峭。
在这个比方里，身高y是跟着年纪t改动而改动，也便是说给定任何一个t的值，都有一个y的值跟它对应，咱们就能够说身高y是一个关于年纪t的函数（function），记做y=f(t)。这个f天然便是函数的英文单词function的缩写，函数便是这样一种对应（映射）联络。在这儿，身高y的值只跟年纪t一个变量相关，咱们就说这是一个一元函数。可是，假如咱们的问题略微杂乱一些，我的某个量不止跟一个量有关，而是跟多个量有关呢？
04多个变量的偏导数
比方山的高度，一座山在不同点的高度是不相同的，而在地面上确认一个点的方位需求经度和纬度两个信息。或许，你能够自己在地面上树立一个坐标系，然后地面上每一个点都能够用（x,y）来表明。由于每一个方位（x,y）都对应了那个当地山的高度z，那么z就成了一个关于x和y的函数，记做z=f(x,y)。由于山的高度z需求两个变量x和y才干确认，所以咱们说z=f(x,y)是一个二元函数。
再例如，我房间的每一个点都有一个温度，所以房间的温度T是一个关于房间内空间点的函数，而房间里每一个点的方位需求长宽高三个变量（x,y,z）才干确认。所以，我房间里的温度T是一个关于x,y,z的三元函数，记做T=f(x,y,z)。
咱们再来回过头来看看导数，在一元函数y=f(t)里，咱们用dy/dt来表明这个函数的导数，导数越大的当地曲线改动得越快。由于一元函数的图画是一条曲线，曲线上的一个点只需一个方向（要么往前，要么往后，横竖都是沿着x轴方向），所以咱们能够直接用dy/dt表明函数改动得有多快。可是，假如这个函数不是一元函数，而是二元、三元等多元函数呢？
比方山的高度z是关于方位x,y的二元函数z=f(x,y)，这时分地面上的每一个点（x,y）都对应一个值，它的函数图画便是一个曲面（如山的外表），而不再是一条曲线。而曲面上的每一个点有许多个方向（前后左右360°都能够），x和y只是这许多方向中的两个，那咱们要怎样把握这许多个方向上的高度改动快慢呢？
当然，咱们不或许把这许多个方向都逐个找出来，也没这个必要。一个平面上有许多个点，可是我只用x和y这两个方向组成的（x,y）就能够表明一切的点。相同的，尽管在函数曲面上的一点有许多个方向，不同方向函数改动的快慢都不相同的，可是咱们只需把握了其间的两个，就能把握许多信息。
那么咱们要怎样表明函数z沿着x轴方向改动的快慢呢？直接用dz/dx么？如同不太对，由于咱们的z是一个关于x和y的二元函数，它的变量有两个，你这样直接dz/dx适宜么？合法么？可是，假如我在考虑x轴方向的时分，把y看作一个常数，也便是把y轴固定住，这样函数z就只跟x相关了，所以咱们就把一个二元函数（曲面）变成了一个一元函数（曲线）。
如上图所示，当咱们固定y=1的时分，这个曲面就被这个y=1的平面切成了两半，而平面与曲面相交的当地就呈现了一条曲线。这条曲线其实便是当我固定y=1的时分，函数z的图画，只不过这时分z只跟x一个变量有关，所以它变成了一个一元函数。所以，咱们就能够模仿一元函数的办法界说导数了，也便是说：咱们在z=f(x,y)上无法直接界说导数，可是假如咱们把y固定起来了，这时分二元函数的曲面就变成了一元函数的曲线，那么咱们就在曲线上界说导数了。这种把y的值固定在某个当地，然后核算函数在x轴方向上的导数，叫作关于x的偏导数，记做 z/ x。相同，假如咱们把x的值固定，核算函数在y轴方向上的导数，那天然便是关于y的偏导数，记做 z/ y。
05全微分
有了偏导数的概念，咱们就有办法写出dz和dx、dy之间的联络了。在一元函数里，导数是dy、dt，咱们天然就能够写出dy和dt之间的联络：
那么，到了二元函数z=f(x,y)的时分呢？咱们幻想有个人在山的一点要往另一点爬，咱们让他先沿着x轴的方向爬（也便是固定住y的值），假定他沿x轴移动了dx。依据上面偏导数的界说，假如咱们把y 的值固定了，那么他在x轴方向上的导数是能够用偏导数 z/ x来表明，那么在他沿着x轴移动的时分，他上升的高度就能够写成（ z/ x）·dx。相同，接下来他沿着y轴方向走的时分，他上升的高度就能够写成（ z/ y）·dy。咱们把这两个部分上升的高度加起来，不就得到了终究爬山的高度改动dz的了么？也便是说：
这个公式咱们能够把它造作全微分定理，它其实是对上面一元函数导数联络的一个天然推行。它告知咱们，尽管在曲面的一个点上有许多个方向，可是只需咱们把握了其间x和y两个方向上的偏导数，咱们就能把握它的函数改动dz。复原到爬山的这个比方上来，这个公式是在告知咱们：假如我知道你沿着x轴和y轴别离走了多少，然后我知道你这座山在x轴和y轴方向的倾斜度（即偏导数）是多少，那我就知道你爬山的纯高度改动有多少（又是几近大废话~）。
咱们费了这么多劲就为了推出这个公式，那么这个公式里必定躲藏了什么重要的东西。不过，现在这种办法还不简略看清楚，咱们还得略微了解一点矢量剖析的内容，把公式拆成矢量点乘的办法，那就显着了。
06再谈矢量点乘
关于矢量点乘的工作，我在积分篇的第六节就现已说过一次了，由于电场的通量Φ便是电场E和面积a的点乘：Φ=E·a。由于矢量是既有巨细又有方向的量，而咱们小时分学习的乘法它只管巨细不论方向，所以两个矢量之间就得从头界说一套乘法规矩，而最常见的便是点乘（符号为‘·’）。
两个矢量OA、OB的点乘被界说为：OA·OB=|OA||OB|Cosθ（矢量的表明原本是在它头顶上加一个箭头，可是这儿不便利这样表明，那就用黑体表明晰）。它表明一个矢量OA在另一个矢量OB上的投影OC（OC=|OA| Cosθ）和另一个矢量的巨细的乘积，可见两个矢量点乘之后的成果是一个标量（只需巨细没有方向）。
这些内容我在上一篇都现已说了，这篇文章咱们再来看看矢量点乘的几个性质。
性质1：点乘满意交换律，也便是说OA·OB=OB·OA。这个很显着，由于依据界说，前者的成果是|OA||OB| Cosθ，后者的成果是|OB||OA| Cosθ，它们显着是持平的。
性质2：点乘满意分配律，也便是说OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。这个略微杂乱一点，我这儿就不作证明晰，作为习题留给咱们~
性质3：假如两个矢量彼此笔直，那么它们点乘的成果为0。这个也好了解，假如两个矢量笔直，那么一个矢量在另一个矢量上的投影不便是一个点了么？一个点的巨细必定便是0啊，0乘以任何数都是0。假如咱们学习了三角函数，从Cos90°=0相同一眼看出来。
性质4：假如两个矢量方向相同，那么它们点乘的成果便是他们巨细相乘。了解了性质3，了解4就十分简略了，从cos0°=1也能一眼便知。
此外要留意的是，点乘是不满意结合律的，也便是说没有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC），为什么？由于两个矢量点乘之后的成果是一个标量，你再让一个标量去点乘另一个矢量压根就没有含义，点乘是两个矢量之间的运算。
咱们小学就开端学的加法、乘法满意交换律、结合律、分配律，而矢量的点乘除了不能用结合律以外，其它的都满意。我这样写是为了告知咱们：点乘尽管是一种新界说的运算，可是它和咱们往常触摸的加法、乘法仍是很相似的，咱们不必对这种生疏的运算发生不知道的惊骇。
07坐标系下的点乘
一个矢量有巨细又有方向，咱们一般是用一个箭头来表明的，箭头的方向就代表了矢量的方向，而箭头的长短就代表了矢量的巨细。假如咱们这时分树立一个坐标系，把这个箭头的一端移动到坐标原点，那么箭头的另一端就会固定在坐标系的某个点上，这样的话，咱们就能够用一个坐标点来表明一个矢量了。
如上图，A点的坐标是（4,3），那么这个矢量OA就能够记为（4,3）。然后，咱们把矢量OA沿着x轴y轴做一个分化：
所以，咱们的矢量OA就能够表明成：OA=OB+OC（矢量的加法便是把两个矢量首尾相连，所以OB+BA=OA，而BA=OC，所以有上面的定论）。这时分，假如咱们在x轴上界说一个单位向量x（1,0），那么OB的长度是x长度的四倍，而他们的方向又相同，所以矢量OB=4x。相同，在y轴上界说一个单位向量y(0,1)，那么OC=3y。那么，咱们的OA就能够从头写成：OA=OB+OC=4x+3y。
这样的话，我恣意一个矢量（x1,y1）都能够写成x1x+y1y。所以我就成功的把那个括号给丢了，把坐标表明的矢量变成了咱们了解的加法运算。这儿咱们要特别差异：x1,y1是坐标，是数，是标量，而黑体的x,y代表的是单位矢量。那么矢量的点乘就能够写成这样：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）。由于点乘是满意分配律（见性质2）的，所以咱们能够把上面的成果直接彻底打开成：x1x2xx+x1y2xy+y1x2yx+y1y2yy。
然后下面是要点：由于矢量x和y是别离沿着x轴和y轴的，所以它们是彼此笔直的，而依据性质3，两个矢量假如彼此笔直，它们的点乘成果便是0。也便是说，xy=yx=0，那么咱们打开式的中心两项x1y2xy+y1x2yx就直接等于0。而依据性质4，xx=yy=1（由于x和y都是长度为1的单位矢量，自己跟自己点乘方向必定相同）。
所以，咱们就能够发现两个矢量点乘之后的成果只剩余第一项和第四项的系数部分了，也便是说：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）= x1x2 +y1y2。
08梯度的诞生
关于许多高中生来说，这只是一个了解得不能再了解的定论，可是我仍是自始至终给咱们扎扎实实的推导了一遍。长尾科技不喜爱那种随意忽然冒出一个定论的感觉，所以我也期望读者看我的文章，每个定论得出来都是踏踏实实的，都是紧密的逻辑推导出来的。这个式子有什么用呢？咱们看看它的后边一半（带箭头的x，y表明矢量，对应上面公式里的黑体x,y）：
再比照一下咱们上面推导出来的全微分定理：
这个全微分定理的右边跟矢量点乘的右边是不是很像？都是两个量相乘然后把成果加起来。假如咱们把dx看作x2，dy看作y2，两个偏导数看作x1和y1，那么咱们就能够依照这个点乘的公式把这个全微分定理拆成两个矢量点乘的姿态，即dz能够写成这样：
所以，dz就被咱们拆成了两个矢量点乘的姿态，咱们再来细心看看这两个矢量：右边的这个矢量的两个重量别离是dx和dy，这别离是我沿着x轴和y轴别离移动无量小的间隔，它们相加的成果用dl来表明:
而左面呢，左面这个矢量的两个重量别离是函数z=f(x,y)对x和y的两个偏导数，这个咱们也用一个新的符号来表明它：
绕了这么久，咱们现在总算看到这个符号了，这个z的姓名就叫：z的梯度。
把左右两头的矢量都独自拎出来之后，咱们就能够把本来的式子写成更简略的姿态：
这一段信息量有点大，关于没触摸过矢量剖析的人来说或许会稍有不适。咱们前面绕那么大弯子讲全微分dz，讲矢量的点乘，都是为了引出这个式子，然后从中提炼出梯度z的概念。
搞懂了这些工作的来龙去脉之后，咱们就来要点看看咱们引出来的z，也便是z的梯度。
09梯度的性质
这个梯度咱们要怎样去看呢？首要z是一个矢量，是矢量就既有巨细又有方向，咱们先来看看梯度的方向。
上面咱们现已得到了dz=z·dl，把dz表明成了两个矢量的点乘，那咱们再依据矢量点乘的界说把它们打开，就能够写成这样：
这个dz则表明山的高度的一个细小改动，那么，沿着哪个方向走这个改动是最快的呢？也便是说我挑选哪个方向会使得dz的改动最大？
Cosθ表明的是直角三角形里邻边和斜边的比值，而斜边总是比两个直角边大的，所以它的最大值只能取1（极限状况，θ=0°的时分），最小为0（θ=90°）。而依据上面的dz=|z||dl|cosθ，明显你要让dz获得最大值，就有必要让cosθ取最大值1，也便是有必要让z和dl这两个矢量的夹角θ=0°。
两个矢量的夹角等于0是什么意思？那便是这两个矢量的方向相同啊。也便是说：假如咱们移动的方向（dl的方向）跟梯度z的方向共同的时分，dz的改动最大，咱们高度改动最大。这就告知咱们：梯度z的方向便是高度改动最快的方向，便是山坡最陡的方向。
假定你站在一个山坡上四处眺望，那个最陡的当地便是梯度的方向，假如你去丈量这个方向的斜率，那这便是梯度的巨细。所以，梯度这个姓名仍是十分形象的。
10算子
咱们再细心看一下梯度z的表明:
这是一个矢量，可是它看起来如同是和一个标量z“相乘”，咱们把这个z说到括号的外面来，这时分这个梯度z就能够写成这样：
所以，假如把独自拎出来，就得到了这样一个东西：
这个东西就值得咱们玩味了，这是啥？z表明的是二元函数z=f(x,y)的梯度，也便是说咱们先有一个函数z，然后咱们把这个往函数z前面一放，咱们就得到z的梯度。从函数z得到z的梯度的详细进程便是对这个函数z别离求x的偏导和y的偏导。
也便是说，独自的是这么个东西：我自己自身并不是什么详细的东西，我需求你给我一个函数，然后我对你这个函数进行一顿操作（求x和y的偏导），终究回来一个这个函数的梯度给你。这就像是有一个特定功用的模具：你给我一堆面粉，我一顿处理之后回来你一个饼。可是明显的，它并不是面粉，也不是饼，它独自的存在没有什么含义，它必定要跟面粉结合才干发生有详细含义的东西。
这种东西叫算子，就叫算子。依据算子的巨大影响力，它又有一大堆其他的姓名：从它的详细功用上来看，它被称为矢量微分算子；由于它是哈密顿引进进来的，所以它又被称为哈密顿算子；从读音上来说，它又被称为nabla算子或许del算子。这些咱们了解一下，知道其他人在议论这个的时分都是在指算子就行了。
11梯度、散度和旋度
算子不是一个矢量，除非你把它效果在一个函数上，不然它没啥含义。可是，它在各个方面的体现的确又像一个矢量，只需你把算子的“效果”当作矢量的“相乘”。
一个矢量一般来说有3种“乘法”：
1、矢量A和一个标量a相乘：aA。比方我把一个矢量A巨细变为本来的2倍，方向不变，那么这时分就能够写成2A。
2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。这个点乘咱们上面介绍许多了，A·B=|A||B|Cosθ，这儿就不说了。
3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。这个叉乘跟点乘相似，也是咱们独自针对矢量界说的别的一种乘法，|A×B|=|A||B|Sinθ。咱们能够看到，这个叉乘跟点乘仅有的差异便是：点乘是两个矢量的巨细乘以它们的余弦值Cosθ，叉乘是两个矢量的巨细乘以它们的正弦值Sinθ（在直角三角形里，角的对边和斜边的比为正弦Sinθ，邻边和斜边的比值为余弦Cosθ）。
那么，相同的，咱们的算子也有3种效果办法：
1、算子效果在一个标量函数z上：z。这个z咱们上面说过了，它表明函数z的梯度，它表明这个函数z改动最快的方向。
2、算子跟一个矢量函数E点乘：·E。这就表明E的散度，咱们开篇讲的高斯电场规律的左面便是电场E的散度，它便是表明成·E这样。
3、算子跟一个矢量函数E叉乘：×E。它叫E的旋度，这个咱们后边会再详细说。
这样，咱们就以一种很天然的办法引出了这三个十分重要的概念：梯度（z）、散度（·E）和旋度（×E）。咱们能够看到，算子的这三种效果跟矢量的三种乘法是十分相似的，只不过是一个算子，它有必要效果在一个函数上才行，所以咱们把上面的标量和矢量换成了标量函数和矢量函数。
咱们在描绘山的高度的函数z=f(x,y)的时分，不同的点（x,y）对应不同的山的高度，而山的高度只需巨细没有方向，所以这是个标量函数，咱们能够求它的梯度z。可是，电场E既有巨细又有方向，这是一个矢量，所以咱们能够用一个矢量函数E=f(x,y)表明空间中不同点（x,y）的电场E的散布状况。那么对这种矢量函数，咱们就不能去求它的梯度了，咱们只能去求它的散度·E和旋度×E。
为了让咱们对这些能够有更直观的概念，咱们接下来就来细心看看电场的散度·E。
12电场的散度
当咱们把电场的散度写成·E这样的时分，咱们会觉得：啊，好简练！可是咱们也知道算子的界说是这样的：
那么·E就应该写成这样：
而咱们知道电场E其实是一个矢量函数（不同点对应的电场的状况），那咱们仍是能够把E分化成x,y两个重量的和，这两个重量后边跟一个x和y方向的单位向量就行了。那么，上面的式子就能够写成这样：
然后，由于矢量点乘是满意分配律的，所以咱们能够把他们依照一般乘法相同打开成四项。而x和y是笔直的单位向量，所以x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然后咱们终究剩余的就只需这两项了（这一块的推导逻辑跟“坐标系下的矢量点乘”那一节相同，觉得有点生疏的能够再回来去看看那一部分）：
这便是电场E的散度的终究表达式，它的意思很显着：咱们求电场E的散度便是把矢量函数E分化成x和y方向上的两个函数，然后别离对它们求偏导，终究再把成果加起来就行了。
为了让咱们对这个有个更直观的概念，咱们来看两个小比方：
例1：求函数y=2x+1的导数。
这个函数的图画是一条直线（不信的能够自己去找一些x的值，代入进去算算y的值，然后把这些点画在图上），它的斜率是2，也便是说导数是2。也便是说，关于一次函数（最多只需x，没有x的平方、立方……），它的导数便是x前面的系数（2x前面的2），然后边的常数（1）对导数没有任何影响。
例2：求电场E=2x+yy的散度。
咱们先来看看这个电场E，它在x方向上（2x）的系数是2，也便是说它的电场强度是不变的，一向都是2。可是，在y方向上（yy）的系数是y，也便是说当我沿着y轴越走越远的时分，这个系数y也会越来越多，这就表明y方向上的电场强度会越来越大。
所以E=2x+yy描绘的是这样一个在x轴方向上不变，在y轴方向上不断变大的电场。要求这个电场的散度，依据上面的式子，咱们得先求出电场的偏导数，那偏导数要怎样求呢？还记住咱们是怎样得到偏导数这个概念的么？咱们是固定y的值，也便是假定y的值不变，把y看作一个常数，这时分求得了对x的偏导数；相同，把x作为一个常数，求函数对y的偏导数。
那么，当咱们求函数对x的偏导数 E/ x时，咱们能够把y当作常数（就像例1中后边的1相同）。假如y是常数，x方向前面的系数又是2，也是常数，所以这整个就变成了一个常数（常数的导数为0），所以 E/ x=0。相同，当咱们求y的偏导的时分，就把x都当作常数（导数为0），而y方向前面的系数为y（导数为1），所以 E/ y=0+1=1。
那么电场E的散度·E就能够表明成这两个偏导数的和：·E= E/ x+ E/ y=0+1=1，也便是说，电场E的散度为1。
这尽管是一个十分简略的求电场散度的比方，可是却包括了咱们求偏导，求散度的基本思维。经过这种办法，咱们能够很轻松的就把电场E的散度·E求出来了。
补了这么多的数学和推导，咱们现在有了一个界说杰出，核算便利的散度·表达式了，可是，你还记住咱们在开端讲到的散度的界说么？咱们最开端是怎样引进散度的呢？
咱们是从麦克斯韦方程组的积分办法引进散度的。高斯电场规律说经过一个闭合曲面的电通量跟这个闭合曲面包括的电荷量成正比，并且这个曲面可所以恣意形状。然后咱们为了从微观进入微观，就让这个曲面不断地缩小缩小，当它缩小到无量小，缩小到只包括了一个点的时分，这时分咱们就说经过这个无量小曲面的通量和体积的比就叫散度（用div表明）。
也便是说，咱们最开端从无量小曲面的通量界说来的散度和咱们上面经过偏导数界说来的散度·指的是同一个东西。即：
13为何这两种散度是等价的？
许多人或许觉得难以了解，这两个东西的表达办法和来历都彻底不相同，它们怎样会是同一个东西呢？可是它们的确是同一个东西，那咱们为什么要弄两套东西出来呢？在最开端我也说了，经过无量小曲面的通量界说的散度很简略了解，跟麦克斯韦方程组的积分办法的通量也有十分大的联络，可是这种界说欠好核算（上面的例2，你用这种办法去求它的散度试试？），所以咱们需求找一种能便利核算、实践可用的办法，这样才呈现了·办法的散度。
至于为什么这两种办法是等价的，我给咱们供给一个简略的思路。由于这究竟是面向群众的科普性质的文章，详细的证明进程我就不细说了。实在感兴趣的朋友能够顺着这个思路去完结自己的证明，或许来我的社群（回复“社群”即可）里评论。
证明思路：咱们假定有一个边长别离为Δx、Δy、Δz的小长方体，空间中的电场为E(x,y,z)，然后假定在这个长方体的正中心有一个点（x,y,z）,那么这个电场经过这个长方体前面（沿着x轴正方向）的电场就能够表明为：Ex（x+Δx/2,y,z）。Ex表明电场在x方向上的重量（由于咱们是考虑长方体上外表的通量，所以只用考虑电场的x重量），由于中心坐标为（x,y,z），那么沿着x轴移动到外表的坐标天然便是（x+Δx/2,y,z）。而这个面的面积为ΔyΔz，那么经过前面的电通量就能够写成：Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz。
相同的，经过长方体后边（沿着x轴的负方向）的电通量，就能够写成Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz。由于这两个面的方向是相反的（前面后边，一个沿着x轴正方向，一个沿着负方向），所以，这两个沿着x轴方向的面的电通量之和Φx就应该是两者相减：Φx=（Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz-Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz）。
假如咱们两头都除以Δv（其间，Δv=ΔxΔyΔz），那么就得到：Φx/Δv=（Ex（x+Δx/2,y,z）-Ex（x-Δx/2,y,z））/Δx，然后你会发现等式的右边刚好便是偏导数的界说（规范的极限制义）。也便是说，电场经过沿着x轴的两个面（前后双面）的通量之和就等于电场的x重量对x的偏导数：Φx/Δv= Ex/ x。
相同的，咱们发现电场沿着y轴的双面（左右双面）和z轴的双面（上下双面）的电通量之和别离就等于电场的y重量和z重量对y和z的偏导：Φy/Δv= Ey/ y，Φz/Δv= Ez/ z。然后咱们把这三个式子加起来，左面便是电场经过六个面的通量除以体积，也便是经过这个长方体的通量除以体积，右边便是咱们·E的办法，这别离便是咱们上面两种散度的表明办法，证明完结。
这个证明一时半会没看懂也没联络，感兴趣的可今后边渐渐去揣摩。我只是想经过这种办法让咱们了解经过某一方向的两个面的通量跟这方向的偏导数之间是存在这种对应联络的，这样咱们就简略接受无量小曲面的通量和·这两种散度的界说办法了。
这两种散度的界说办法各有所长，比方咱们在判别某一点的散度是否为零的时分，我用第一个界说，去看看包括这个点的无量小曲面的通量是不是为零就行了。假如这一点有电荷，那么这个无量小曲面的电通量必定就不为零，它的散度也就不为零；假如这个无量小曲面没有包括电荷，那这一点的散度必定为0，这便是高斯电场规律的微分方程想要告知咱们的东西。可是，假如你要核算这一点的散度是多少，那仍是乖乖的拿起·去核算吧。
14散度的几许含义
此外，跟梯度相同，散度这个姓名也是十分形象的。许多人会跟你说散度表明的是“散开的程度”，这种说法很简略让初学者误解或许利诱，比方一个正电荷发生的发生的如下的电场线，它看起来是散开的，所以许多就会以为这儿一切的点的散度都是不为零的，都是正的。
可是，依据咱们上面剖析，散度反映的是无量小曲面的通量，这直接跟这一点是否有电荷对应。那么，这个图的中心有一个正电荷，那么这点的散度不为零没缺点，可是其他当地呢？其他当地看起来也是散开的，可是其他当地并没有电荷，没有电荷的话，其他点电场的散度就应该为0（由于这个当地无量小曲面的通量有进有出，它们刚好抵消了），而不是你看起来的如同是散开的，所以为正。
也便是说，关于一个点电荷发生的电场，只需电荷地点的点的散度不为0，其他当地的散度都为0。咱们不能依据一个电场看起来是散开的就觉得这儿的散度都不为0，那么，这个散开究竟要怎样了解呢？
你能够这么操作：你把电场线都幻想成水流，然后拿一个十分轻的圆形橡皮筋放到这儿，假如这个橡皮筋的面积变大，咱们就说这个点的散度为正，横竖为负。假如你把橡皮筋丢在电荷地点处，那么这点一切方向都往外流，那么橡皮筋必定会被冲大（散度为正）；可是在其他当地，橡皮筋会被冲走，可是不会被冲大（散度为0），由于里外的冲力抵消了。这样的话，这种散开的模型跟咱们无量小曲面的通量模型就不再抵触了。
15方程一：高斯电场规律
说了这么多，又是证明不同散度办法（无量小曲面的通量和·）的等价性，又是阐明不同散度了解办法的同一性（无量小曲面的通量和散开的程度），都是为了让咱们从更多的维度全方位的了解散度的概念，尽量避开初学者学习散度会遇到的各种坑。了解了这个散度的概念之后，咱们再来看麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场规律的微分办法就十分简略了解了：
方程的左面·E表明电场在某一点的散度，方程右边表明电荷密度ρ和真空介电常数的比值。为什么右边要用电荷密度ρ而不是电荷量Q呢？由于散度是无量小曲面的通量跟体积的比值，所以咱们的电量也要除以体积，电量Q和体积V的比值便是电荷密度ρ。比照一下它的积分办法：
两头都除以一个体积V，然后曲面缩小到无量小：左面的通量就变成了电场的散度·E，右边的电荷量Q就变成了电荷密度ρ，完美！
麦克斯韦方程组的积分办法和微分办法是逐个对应的，了解这种对应的要害便是了闭幕度（和后边的旋度）这两种不同界说办法背面的共同性，它是交流积分和微分办法的桥梁。了解了它们，咱们就能在这两种办法的切换之间如虎添翼，咱们就能一看到积分办法就能写出对应的微分办法，反之亦然。
16方程二：高斯磁场规律
了解了高斯电场规律的微分办法，那么高斯磁场规律的微分办法就能轻松写出来了。由于现在还没有找到磁单极子，磁感线都是闭合的曲线，所以闭合曲面的磁通量必定恒为0，这便是高斯磁场规律积分办法的思维：
那么，咱们相同把这个曲面缩小到无量小，经过这个无量小曲面的磁通量就叫磁场的散度，那么方程的左面就变成了磁场的散度，而右边仍是0。也便是说：磁场的散度处处为0。所以，麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场规律的微分办法便是：
17旋度
静电和静磁的微分办法咱们现已说完了，那么接下来便是磁怎样生电的法拉第规律了。关于法拉第是怎样经过试验一步一步发现法拉第规律的内容，我在积分篇里现已详细说了，这儿就不再多说。对法拉第规律的基本思维和积分办法的内容还不太了解的请先去看上一篇积分篇的内容。
法拉第规律是法拉第对电磁感应现象的一个总结，他发现只需一个曲面的磁通量（B·a）发生了改动，那么就会在曲面的边际感生出一个旋涡状的电场E出来。这个旋涡状的感生电场咱们是用电场的环流来描绘的，也便是电场沿着曲面鸿沟进行的线积分。
用详细的公式表明便是这样：
公式左面是电场E的环流，用来描绘这个被感生出来的电场，而公式的右边是磁通量的改动率，用来表明磁通量改动的快慢。
这个法拉第规律是用积分办法写的，咱们现在要得到它的微分办法，怎样办？那当然仍是跟咱们上面的操作相同：从积分到微分，我把它无限缩小就行了。那么，这儿咱们把这个非闭合曲面缩小缩小，一向缩小到无量小，那么咱们这儿就呈现了一个无量小曲面的环流。
还记住咱们怎样界说散度的么？散度便是经过无量小闭合曲面的通量和闭合曲面体积的比值，而咱们这儿呈现了一个无量小非闭合曲面的环流，由于非闭合曲面就没有体积的说法，只需面积。那么，经过无量小非闭合曲面的环流和曲面面积的比值，会不会也有是一个别的什么量的界说呢？
没错，这的确是一个全新的量，并且这个量咱们在前面略微说到了一点，它便是旋度。咱们把算子跟矢量做类比的时分，说一个矢量有三种乘法：跟标量相乘、点乘和叉乘。那么相同的，算子也有三种效果：效果在标量函数上叫梯度（z）,以点乘的办法效果在矢量函数上被称为散度（·z），以叉乘的办法效果在矢量函数上被称为旋度（×z）。
也便是说，咱们让算子以叉乘的办法效果在电场E上，咱们就得到了电场E的旋度×E，而这个旋度的另一种界说便是咱们上面说的无量小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。由于旋度的英文单词是curl，所以咱们用curl（E）表明电场的旋度。所以，咱们就能够写下下面这样的式子：
跟散度的两种界说办法相同，咱们这儿的旋度也有×和无量小曲面的环流两种表述办法。在散度那里，我给咱们证明晰那两种散度办法等价性，在旋度这儿我就不再证明晰，感兴趣的朋友能够依照相似的思路去测验证明一下。
18矢量的叉乘
由于旋度是算子以叉乘×的办法效果在矢量场上，所以这儿咱们来简略的看一下叉乘。两个矢量A和B的点乘被界说为：A·B=|A||B|Cosθ，它们的叉乘则被界说为|A×B|=|A||B|Sinθ，其间θ为它们的夹角。单从这样看，它们之间的不同如同很小，只不过一个是乘以余弦Cosθ，另一个是乘以正弦Sinθ。
从它们的几许含义来说，点乘表明的是投影，由于|OA|Cosθ刚好便是OA在OB上的投影，也便是OC的长度。如下图：
那么叉乘呢？叉乘是|OA|Sinθ，这是AC的长度，那么|A×B|=|A||B|Sinθ=|AC||OB|，这是啥？这是面积啊，假如我以OA和OB为边长作一个平行四边形，那么AC就刚好是这个平行四边形的高，也便是说，矢量A和B的叉乘（|A×B|=|AC||OB|）就代表了平行四边形OADB的面积。
关于矢量的叉乘就说这么多，在前面讲矢量点乘的时分我还详细介绍了点乘的性质和坐标运算的办法，那是由于为了天然的引出算子，不得不讲那些。叉乘也有相似的性质和坐标运算的规律，这个在网上随意一搜或许找一本恣意矢量剖析的书都能找到。并且，你现在不会娴熟的进行叉乘运算，并不会影响你对麦克斯韦方程组的微分办法的了解，这儿了解一下它的界说和几许含义就行了。
19方程三：法拉第规律
好，知道了矢量的叉乘，知道了×E能够表明电场的旋度，并且知道旋度的界说是：无量小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比。那咱们再来回过头看一看法拉第规律的积分办法：
公式的左面是电场的环流，右边是磁通量的改动率，它告知咱们改动的磁通量会在曲面鸿沟感生出电场。我在积分篇里说过，磁通量（B·a）的改动能够有两种办法：磁场（B）的改动和经过曲面面积（S）的改动，咱们上面这种办法是把这两种状况都算在内。可是，还有的学者以为只需磁场（B）的改动发生的电场才算法拉第规律，所以法拉第规律还有别的一个版别：
这个版别的把本来对整个磁通量（B·da）的求导变成了只对磁感应强度B的求偏导，这就把磁感线经过曲面面积改动的这种状况给过滤了。
在积分办法里有这样两种差异，可是在微分办法里就没有这种差异了。为什么？你想想咱们是怎样从积分变到微分的？咱们是让这个曲面不断的缩小缩小，一向缩小到无量小，这个无量小的曲面就只能包括一个没有巨细的点了，你还让它的面积怎样变？所以咱们的微分办法就只用考虑磁感应强度B的改动就行了（对应后边那个法拉第规律）。
咱们现在假定把那个曲面缩小到无量小，方程的左面除以一个面积ΔS，那便是电场的旋度×E的界说：
左面除了一个面积ΔS，那右边也得除以一个面积，右边本来是磁感应强度的改动率（ B/ t）和面积的乘积，现在除以一个面积，那么剩余的便是磁感应强度的改动率 B/ t了。那么，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第规律的微分办法天然便是这样：
简练吧？清新吧？这样表明之后，法拉第规律的微分办法看起来就比积分办法舒畅多了，并且它还只需这一种办法。直接从方程上来看，它告知咱们某一点电场的旋度等于磁感应强度的改动率。简略归简略，要了解这种公式，中心仍是要了解左面，也便是电场的旋度×E。
20旋度的几许含义
咱们知道旋度的界说是无量小曲面的环流和面积的比值，可是它已然取了旋度这个姓名，那么它跟旋转应该仍是有点联络的。咱们改动的磁场感生出来的电场也是一个旋涡状的电场。那么，是不是只需看起来像漩涡状的矢量场，它就必定有旋度呢？
这个问题咱们在评论散度的时分也遇到过，许多初学者以为只需看起来发散的东西便是有散度的，然后咱们经过剖析知道这是不对的。一个点电荷发生静电场，只需在电荷处散度不为零的，在其他当地，尽管看起来是散开的，其实它的散度是零。假如咱们放一个十分轻的橡皮筋在上面，除了电荷地点处，其它当地这个橡皮筋是不会被撑开的（即使会被冲走），所以其他当地的散度都为零。
相同的，在旋度这儿，一个改换的磁场会发生一个旋涡状的电场，在旋涡的中心，在磁场改动的这个中心点这儿，它的旋度必定是不为零的。可是，在其它当地呢？从公式上看，其它当地的旋度必定为零，为什么？由于其他当地并没有改动的磁场啊，所以依照法拉第规律的微分办法，没有改动的磁场的当地的电场的旋度必定是0。
跟散度相同，咱们不能仅凭一个感生电场是不是旋转状的来判别这点旋度是否为0，咱们也需求凭借一个小道具：小风车。咱们把一个小风车放在某一点上，如果这个风车能转起来，就阐明这点的旋度不为0。你只需把风车放在感生电场中心以外的当地，就会发现假如外层的电场线让小风车顺时针转，内层的电场线就会让小风车逆时针转，这两股力刚好抵消了。终究风车不会转，所以旋度为0。
假如咱们能了解静电场除了中心点以外的当地散度处处为零，那么了解感生电场除了中心点以外的当地旋度处处为零就不是什么难事。在非中心点的当地，散度的流入流出两股力气抵消了，旋度顺时针逆时针的两股力气抵消了，为什么刚好他们能抵消呢？实质原因仍是由于这两种电场都是跟着间隔的平方反比削弱。假如它们不恪守平方反比规律，那么你去核算里外的散度和旋度，它们就不再为零。
关于旋度的工作就先说这么多，咱们假如了解了旋度，比照法拉第规律的积分方程，要了解它的微分方程是很简略的。我前面花了很大的篇幅给咱们讲了矢量的点乘和散度，作为类比，了解矢量的叉乘和旋度也不是什么难事，它们的确太相似了。
21方程四：安培-麦克斯韦规律
讲完了磁生电的法拉第规律，咱们麦克斯韦方程组就只剩终究一个电生磁的安培-麦克斯韦规律了。它描绘的是电流和改动的电场怎样发生旋涡状的感生磁场的，由于它电的来历有电流和改动的电场两项，所以它的办法也是最杂乱的。方程的积分办法如下（详细进程见积分篇）：
左面的磁场的环流，右边是曲面围住的电流（带enc下标的I）和电场的改动率。它告知咱们，假如咱们画一个曲面，经过这个曲面的电流和这个曲面里电通量的改动会在曲面的鸿沟感生出一个旋涡状的磁场出来，这个旋涡状的磁场天然是用磁场的环流来描绘。
能够幻想，当咱们用相同的办法把这个曲面缩小到无量小的时分，假如咱们在方程的左右两头都除以这个曲面的面积，那么方程的左面就成了磁场B的旋度×B，右边的两项除以一个面积会变成什么呢？
电通量的改动率除以面积之后就剩余电场的改动率 E/ t，这个跟法拉第规律的磁通量改动率除以面积相似。那么电流（带enc的I）那一项呢？电流I除以面积得到的东西是什么？这儿咱们界说了一个新的物理量：电流密度J。很明显，这个电流密度J便是电流除以电流经过的曲面的面积（留意不是体积）。相应的，电流密度的单位是A/m （安培每平方米）而不是A/m 。
这样，麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦规律的微分办法就天然出来了：
尽管仍是有点长，可是比较积分办法现已是适当良知了，它告知咱们某一点感生磁场的旋度×B等于电流密度J和电场改动率 E/ t两项的叠加。其实它跟积分办法讲的都是一回事，都是在说电流和改动的电场能够发生一个磁场，只不过积分办法是针对一个曲面，而微分办法只是针对一个点罢了。
22麦克斯韦方程组
至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描绘静电的高斯电场规律、描绘静磁的高斯磁场规律、描绘磁生电的法拉第规律和描绘电生磁的安培-麦克斯韦规律的微分办法就都说完了。把它们都写下来便是这样：
高斯电场规律说电场的散度跟这点的电荷密度成正比。
高斯磁场规律说磁场的散度处处为0。
法拉第规律说感生电场的旋度等于磁感应强度的改动率。
安培-麦克斯韦规律说感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度改动率之和。
这儿最引进注视的便是算子了，它以点乘和叉乘的办法组成的散度·和旋度×构成了麦克斯韦方程组微分办法的中心，这也是为什么我要花那么大篇幅从偏导数、矢量点乘一步步给咱们引出算子的原因。也由于如此，微分篇的数学部分比积分篇要多得多得多，相对也要难以了解一些，所以咱们要略微有耐性一点。
从思维上来讲，微分办法和积分办法表达的思维是相同的，究竟它们都是麦克斯韦方程组。它们的不同只是在于积分办法是从微观的视点描绘问题，咱们面临的微观上的曲面，所以要用通量和环流来描绘电场、磁场；而微分办法是从微观的视点来描绘问题，这时分曲面缩小都无量小，咱们面临的东西就变成了一个点，所以咱们运用散度和旋度来描绘电场、磁场。
这一点是特别要着重的：通量和环流是界说在曲面上的，而散度和旋度是界说在一个点上的。咱们能够说经过经过一个曲面的通量或许沿曲面鸿沟的环流，可是当咱们在说散度和旋度的时分，咱们都是在说一个点的散度和旋度。
了解了这些，你再回过头去看看麦克斯韦方程组的积分办法：
咱们只不过把界说在曲面上的通量和环流缩小到了一个点，然后顺势在这个点上用使用通量和环流界说了散度和旋度。由于界说散度和旋度别离还除了一个体积和面积，所以咱们积分方程的右边也都相应的除了一个体积和面积，然后就呈现了电荷密度ρ（电荷Q除以体积V）和电流密度J（电流I除以面积S），电通量和磁通量那儿除以一个体积和面积就剩余电场强度E和磁感应强度B的改动率，仅此罢了。
假如咱们从这种视点去看麦克斯韦方程组的积分办法和微分办法，你就会觉得十分的天然调和。给出积分办法，你一想散度和旋度的界说，就能够立马写出对应的微分办法；给出微分办法，再想一想散度和旋度的界说，也能马上写出对应的积分办法。当我想从微观下手的时分，我看到了曲面上的通量和环流；当我想从微观下手的时分，我也能立马看到一个点上的散度和旋度。积分和微分办法在这儿达成了一种调和的一致。
23结语
到这儿，麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇就都说完了。小编在这两篇文章里先从零开端引出了通量，然后从通量的概念渐渐引出了麦克斯韦方程组的积分办法，再从积分办法用“把曲面压缩到无量小”推出了对应的微分办法。整个进程我都竭力做到“浅显但不失精确”，一切新概念的引出都会先做层层衬托，绝不突如其来的抛出一个新东西。意图便是为了让多的人能够更好的了解麦克斯韦方程组，特别是让中学生也能看懂，能了解麦克斯韦方程组的美好，一同也激宣布他们对科学的猎奇和酷爱之心，消除他们对“深邃”科学的害怕之心：看，这么巨大上的麦克斯韦方程组，年纪轻轻的我也能看懂，也能把握~
此外，麦克斯韦方程组是真的很美，你把握的物理常识越多，就会越觉得它美。我也更期望咱们是由于它的美而喜爱这个方程组，而不只是是由于它的“重要性”。咱们也都知道，麦克斯韦写出这套方程组今后，就从方程推导出了电磁波，当他把相关的参数代入进去算出电磁波的速度的时分，他惊呆了！他发现这个电磁波的速度跟人们试验丈量的光速极为挨近，所以他给出了一个斗胆的猜测：光便是一种电磁波。
惋惜的是，英年早逝的麦克斯韦（48岁逝世）并没能看到他的预言被证明，人类直到他逝世9年后，也便是1888年才由赫兹初次证明了“光是一种电磁波”。
终究，这篇文章首要参阅了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel Fleisch），咱们想对麦克斯韦方程组做进一步了解的能够看看这两本书。
最美的方程，愿你能懂她的美~
来历：长尾科技
修改：井上菌
